【国家标准(GB)】 数据的统计处理和解释 二项分布参数的区间估计

1引言
中华人民共和国国家标准
数据的统计处理和解释
二项分布参数的区间估计
Statistlcal Interpretation of dataInterval estimation of parameter in binomial distribution1.1本标准所用统计学名词见国标GB3358一82《统计学名词及符号》。UDC 519.25
GB4087.2-83
1.2设总体中部分个体具有某种特性，p是总体中具有此种特性的个体的比率。例如p可以是一批产品中不合格品的比率。从总体中随机地、独立地抽取若干个个体作为样本。本标准规定了基干这类样本，对总体的参数P作区间估计的方法。1.3对有限总体，设其大小为N，样本大小为n。当抽取是有放回时；或当抽取是无放回的，但\0.1时，n次抽取可以认为是独立的。1.4在个随机地、独立地抽取的个体中，具有某种特性的个体的个数×是服从二项分布的随机变量X的一次观测值。x取值x的概率为P{X=xln，p) = (\)p*(1-p) n-x x=0.1,2,*,n2比率p的双侧置信区间和单侧量信区间p的双侧置信区间是（pL,Pu），这里0仅有下置信限p（0pt<1）的置信区间（pL，1］。a.
b．仅有上置信限pu（0选用哪种类型的区间，要根据具体问题的性质而定，不依赖于观测值x。本标准采用的置信区间所满足的条件为：所求得的置信区间以给定的1一α的概率包含真正的p值。具体地说，双侧区间应满足P prp单侧区间应满足
p(p或 {p概率1α称为置信水平。根据不同的要求，1－α的数值通常从0.90，0.95，0.99中选取。由于二项分布的离散性，不一定都能求得使上述等式成立的PL，pu，这时可取pL，pu满足 (<或(或u1α
(双侧情形）
(单侧下限）
(单侧上限）
这个置信区间包含真值β的实际概率称为这个区间的“置信水平的实际值”。国家标准局1983-12-21发布
1984-10-01实施
3置信区间的求法
GB 4087.2—83
3.1当n<10时，置信区间-一般太宽，无实际使用价值。3.2当n10时，下面的公式给出了置信水平为1－a的置信限。pr=
式中: V=2 (n-× +1）， V2= 2 pu =
V2+ ViF1-a (Vi, V2)
V2+ Vi/ Ft-a(v2, Vt)
式中：=2（nx），vz=2（x+ 1）。(1)
（2）
此处的F1（，）是自由度为v，v2的F分布的1α分位数，它的值可由F分布表（见国标GB4086.4一83《统计分布数值表F分布》）中查得。为了方便使用，本标准给出了当10单侧置信区间或双侧置信区间的上置信限Pu的值可从表中直接读出。对于单侧置信区间或双侧置信区间的下置信限pL，只需用x=n一x代替x，从表中读出相应于x的p值，（1一p）就是相应于x的p值。例：取n= 20，x = 8，1 - α =0.95,a．求单侧置信区间［o，pu）。n = 20, x = 8 #
从表中读出与n，x相应的p=0.606，PU = p= 0. 606
单侧置信区间为［0，0.606）。b．求单侧置信区间（pr1」。
n=20，x = 8， x =n - x=20 - 8 = 12从表中读出与n，x相应的p=0.783，pr = 1 - p = 1 - 0.783 = 0.217单侧置信区间为（0.217，1）。c．求双侧置信区间（p，pu）。n=20,x=8,x =n-x=12,
从表中读出与n，x相应的p=0.639，Pu=p=0.639
从表中读出与，x相应的p=0.809，pz=1-p=0.191
双侧置信区间为（0.191，0.639）。当n》30，且0.1～0.9时，置信水平为1α的置信限由下面的近似公式给出3.3
p,= p.-uvp. (1 =p / (n+ 2 a)pu= p'+ uvp(i -p) / (n+ 2a)
GB 4087.2--83
u，d为常数。对不同的置信水平，u，d的取值见下表。表1
置信水平
例：取n= 40，x= 12，1 － α=0.95,a．求单侧置信区间【O，Pu）。1-α=0.95查表1得u=1.645，d=1，n= 40，x= 12,
12 + 1 + 0.5
40 + 2 × 1
p*(1 -p) / (n+ 2 d) = 0.072
Pu= p'+ uv p'(1 -p)7(n+2d)
= 0. 321 + 1. 645 × 0. 072 = 0. 439单侧置信区间是［0，0.439）。b.求单侧置信区间（pr：1）。
1－a=0.95，查表1得u=1.645，d=1，n= 40， x =12
12 + 1 - 0.5
40+2× 1
Vp.(1 -p)/ (n+ 2 d) =0.071
P,= p,-uv p, (1 -p,)/ (n+ 2d)= 0.298 - 1.645 × 0. 071 = 0. 181单侧置信区间是（0.181，1）。c．求双侧置信区间（pr，Pu）。1-α=0.95，查表1得u=1.960，d=1.5n = 40，x= 12
p,=+d-0. 5
12 +1.5 ~ 0.5
40 + 2 ×1.5
12+1.5+0.5
40 + 2 ×1.5
Vp (i -p,)7 (n+ 2 d) = 0.070= 0.302
pr= p,\uvp,(i -p) /(n+ 2a)
= 0. 302 -- 1.960 × 0. 070 = 0.165Vp*(1 -p)/(n+ 2d)=0.071
GB 4087.2—83
Pu=p* +u/p*(1 -p*)/(n +2d)
= 0. 326 + 1.960 × 0. 071
双侧置信区间是（0.165，0.466）。3.4当n≥30，且0.1或≥0.9时，可采用泊松近似。这种近似需要利用×分布表（见围标GB4086.2—83《统计分布数值表x分布》)。这时下置信限为
对于单侧置信区间，式中
对于双侧置信区间，式中
上置信限为
对于单侧置信区间，式中
对于双侧置信区间，式中
x(2 x)
当兰接近于0
当÷接近于1
xi-2(n- x)+ 2]
x/2（2 x）
xi-a/[2 n -×）+ 2］
2n-x+x
n+x+1-α
n+x+1+a
xi-α(2x+ 2)
xar2(n - x))
2xi-a/2(2x+ 2 )
+x/2[2(n - x)]
当贵接近于“0
当兰接近于1
这里，（）表示自由度为的x2分布的α分位数。例：取n=50，x=5，1—a=0.95，a．求单侧置信区间［o，pu）。n=50，×=5，号=0.1，用接近于零的公式。xi-a(2x + 2) =
x6.9s (12)
× 21.026 = 10.513
（5）
GB 4087.2 --83
2n-x + a
单侧置信区间是【0，0.199）。b．求单侧置信区间（p.，1了。2 × 10.513
2 × 50 - 5 + 10.513
贵=0.1，用接近于零的公式。
n= 50，x= 5，-www.bzxz.net
(2 ×）
x6.os（10）
×3.940= 1.970
2n-x+i+1
单侧置信区间是（0.040，1］
求双侧置信区间（pi，pu）。
=0.1用接近于零的公式。
n=50,x=5,
对pL，有
x/2(2 x）
2 ×50 - 5 +1+1.970~= 0. 040x3.025(10)
× 3. 247 = 1. 624
2n- x+1+x-=
对pu，有
2 × 1.624
2×50-5+1+1.624
xi-a/2（2x+ 2）
x8.0s (12)
x 23.337 = 11.669
2n- x + ^
双侧置信区间是（0.033，0.219）。2 × 11.669
2 × 50 - 5 + 11.669
GB4087.2--83
上置信限表（=10（1）30）
（补充件）
.0.999
GB 4087.2-83
GB 4087.2-83
GB 4087.2-83
GB 4087.2-83
GB 4087.2--83
GB 4087.2--83
小提示：此标准内容仅展示完整标准里的部分截取内容，若需要完整标准请到上方自行免费下载完整标准文档。